DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES NOTABLES CON GEOGEBRA

Demostración de las identidades notables con GeoGebra

GeoGebra es una herramienta muy potente para este tipo de demostraciones. Aquí vemos lo visual  y lo fácil que se pueden explicar con él.

1º. Cuadrado de la suma de dos números 

Según la demostración anterior podemos ver de forma visual que el cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero (a), más el cuadrado del segundo (b), más el doble del primero por el segundo; (a+b)² = a² + b² + 2ab. El ejemplo se ha hecho para valores “a=5” y “b=3”. Con los deslizadores del programa, podemos observar que esta identidad se cumple para cualquier valor que le demos a “a” y “b”.

2º. Cuadrado de la diferencia de dos números

De la misma forma, vemos que el cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primero (a), más el cuadrado del segundo (b), menos el doble del primero por el segundo; (a-b)² = a² + b² - 2ab. El ejemplo se ha hecho para valores “a=8” y “b=3”. Con los deslizadores del programa, podemos observar que esta identidad se cumple para cualquier valor de “a” y “b”.

3º. Suma por diferencia

La suma por la diferencia de dos números “a” y “b”es igual a la diferencia de sus cuadrados. Es decir, que el resultado de multiplicar la suma de dos números por su diferencia es el mismo que si restamos los cuadrados de ambos números. (a+b) (a-b) = a² - b². En las figuras anexas, demostramos con Geogebra, para cualquier valor de “a” y “b”, que el cuadrado de lado “a” menos el cuadrado de lado “b” tiene la misma superfie que el cuadrado de lados (a+b) y (a-b).

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS. LA RECTA NUMÉRICA.

Contenidos relevantes: operaciones con números enteros

Sin lugar a dudas, consideramos que muchos de los alumnos tienen reales problemas para comprender la suma y resta de números enteros. Por este motivo se cree indispensable explicarlo mediante la recta numérica.

Indicamos en la recta numérica, que partiendo del punto “0” un número positivo se desplazará hacia la derecha el número de unidades de su valor; de la misma forma, un número con signo negativo lo hará hacia la izquierda.

Recta numérica*

Con una serie de ejemplos es como los alumnos lo entienden mejor:

Ejemplo 1. Juan anda 3 metros hacia la derecha y, a continuación, 5 metros más en la misma dirección ¿a cuántos metros está Juan de su posición inicial?  3 + 5 = 8

Recta numérica*

Ejemplo 2. María camina 4 metros hacia la derecha y 7 metros hacia la izquierda después. ¿A qué distancia está María del origen? 4 + (– 7) = – 3

Recta numérica*

Ejemplo 3. Ana se mueve 3 metros hacia la izquierda y, pasado un rato, 5 metros hacia la izquierda. ¿A que distancia se encuentra del punto inicial? – 3 + (– 5) = – 8

Recta numérica*

* Las imágenes se han tomado de la web: http://htor73.blogdiario.com/

ACERTIJOS MATEMÁTICOS (II): UNO DE CABALLEROS Y ESCUDEROS

Fuente de imagen: my-coloring-pages.com

Hoy os traigo uno de los típicos acertijos de lógica, que seguro que os gusta.

Existe una isla en la que viven dos tipos de personas: los caballeros (que siempre dicen la verdad) y los escuderos (que siempre mienten).

Al llegar un extranjero a la isla, se encuentra a tres de sus habitantes (A, B y C). Entonces, pregunta al habitante A, ¿eres caballero o escudero? A le responde: "fg$#hº@"t&·$%#d%" en un idioma que el extranjero no conoce.  Entonces, el extranjero le pregunta al habitante B, ¿qué ha dicho A?, y B le responde: "A te ha dicho que es escudero". Al escuchar las palabras de B, el habitante C le indica: "Lo que te ha dicho B es mentira"...

Con estas respuestas, ¿qué tipos de habitantes pueden ser A, B y C? 

Allá va la solución:

- El habitante A puede ser caballero o escudero, no lo sabemos, pero lo que sí podemos afirmar es que su respuesta es "caballero", porque si es caballero dirá la verdad y si es escudero mentirá y, por consiguiente, su respuesta será caballero también.

- Por tanto, sabiendo que el habitante A es caballero, el habitante B tiene que ser obligatoriamente escudero (porque miente al decir que A es escudero) y no caballero (que hubiera dicho la verdad: caballero).

- Por último, el habitante C es caballero porque dice la verdad (afirma que el habitante B ha mentido porque es escudero).

Espero que os haya quedado claro, aunque parece un trabalenguas. Para cualquier duda ya sabéis que me podéis preguntar sin problemas dejando un comentario.

EXPLICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA CON GEOGEBRA

GeoGebra es una de las herramientas más potentes que existen hoy en día para complementar las tradicionales explicaciones matemáticas. De forma muy visual, se pueden transmitir numerosos conceptos matemáticos. Uno de mis favoritos es la circunferencia trigonométrica, también conocida como circunferencia goniométrica.

Esta circunferencia la utilizamos para estudiar las razones trigonométricas, empleando triángulos rectángulos auxiliares, facilitándonos la comprensión de muchos aspectos trigonométricos: ¿por qué la función seno oscila entre -1 y 1?; ¿por qué el seno de 30º es igual al seno de 150º?; ¿cuándo son positivas o negativas las razones trigonométricas?, etc.

Podéis trabajar todo esto con el siguiente archivo de GeoGebra que he creado:

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

En el caso de este archivo, se pueden estudiar todos estos conceptos, referentes al seno, coseno y tangente de un ángulo, mediante el deslizador de color verde llamado "ángulo", que podemos mover con el ratón.

Además, se incorpora la opción de estudiar los signos de las razones trigonométricas y la representación gráfica del seno y el coseno mediante la activación de las pestañas de la derecha y el movimiento del deslizador "ángulo" anteriormente citado, tal y como muestro en esta imagen:

Funciones seno y coseno con GeoGebra

Por último, quiero recomendaros esta página web de la Universidad de Navarra, donde podéis encontrar numerosos ejemplos para la enseñanza de las matemáticas a través de GeoGebra.

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/index.htm

REDONDEO DE NÚMEROS DECIMALES

“Redondear” un número decimal consiste en disminuir el número de cifras decimales, consiguiendo un valor menos exacto, pero más cómodo a la hora de operar matemáticamente.

Para explicar el redondeo de números decimales, pienso que la manera más visual e intuitiva es mediante la recta numérica. A continuación, lo explico con un ejemplo.

Ejemplo 1. Redondear el número decimal 4,827 a la centésima más cercana.

El alumno tendrá la duda entre redondear a 4,82 ó 4,83. Para redondear, se le invita a que localice sobre la recta numérica los tres números: 4,82; 4,83 y 4,827.

Redondeo de un número decimal usando la recta numérica

Se divide la distancia de 4,82 a 4,83 en diez partes iguales. La séptima de las 10 partes ubica al número 4,827. Como muestra la recta numérica, 4,827 está más cerca de 4,83 que de 4,82, de modo que 4,827, redondeado al centésimo más cercano, es 4,83.

Ejemplo 2. Redondear el número decimal 4,825 a la centésima más cercana.

Para el número 4,825, el método de la recta numérica no valdría, puesto que se encuentra a la misma distancia de 4,82 que de 4,83. En este caso se hace una decisión arbitraria, redondeando hacia arriba al centésimo más cercano (4,83).

¿POR QUÉ UN NÚMERO ELEVADO A CERO ES UNO?

Hola a tod@s,

Cuántas veces hemos utilizado la propiedad de las potencias que dice que “una base cualquiera elevada a exponente igual a 0, vale 1”. Pero, ¿nos hemos preguntado alguna vez por qué? Cuando yo era estudiante, en el colegio y en el instituto no lo hicieron y pienso que se puede demostrar de una forma sencilla e intuitiva para que los alumnos de ESO capten la idea.

 - Se puede demostrar con las propiedades de las potencias, de esta forma:

Aunque realmente así no se explica del todo...

- O de otra forma (yo lo explicaría así), de un modo más visual en la que podríamos usar la calculadora e ir aproximándonos al exponente 0, haciendo ver a los alumnos, que cuanto más nos aproximamos a 0 en el exponente de la potencia, el resultado de la misma más se acerca a 1:

DOMINÓ MATEMÁTICO DE SUMA DE FRACCIONES

Hola a tod@s,

En esta entrada os muestro cómo hacer un dominó matemático para reforzar el aprendizaje de la suma de fracciones (en este caso con igual denominador). Está indicado para alumnos de primero de la ESO, pero a partir de esa edad puede jugar cualquier persona.

En primer lugar, os recuerdo los pasos para sumar fracciones con el mismo denominador:

1º- Dejamos el mismo denominador.

2º- Se suman los numeradores.

3º- Se simplifica si fuera posible.

Ejemplo: 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4

A continuación, os cuento una forma fácil para que profesores y alumnos podáis crear vuestro propio dominó. Os voy a dejar un ejemplo de sumas de fracciones con el mismo denominador, pero podéis improvisar para hacerlo con distinto denominador, con otras operaciones (resta, multiplicación y división) o una mezcla de todas.

JUEGO DEL DOMINÓ PARA REFORZAR LA SUMA DE FRACCIONES

 Materiales necesarios:

- Cartulina blanca.

- Tijeras.

- Rotuladores. 

- Forro adhesivo para plastificar las fichas (opcional).

- Imaginación...

Características del dominó:

Está compuesto por 28 fichas con los números: 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 3/4 y 1.

En todas las fichas, en la parte izquierda aparece una suma de dos fracciones (ver los pasos a seguir en la suma de fracciones) y en la de la derecha un dibujo que representa uno de los 7 números fraccionarios.

Cómo fabricarlo:

- Se recortan 28 trozos rectangulares de cartulina del mismo tamaño.

- Se pintan los bordes y la linea central de todas las fichas.

- La opción más sencilla es copiar las fichas que os adjunto en esta foto.

Dominó matemático completo de suma de fracciones

 - Si queréis crear el vuestro, a la izquierda se escriben las sumas de fracciones (podéis cambiarlas por otras sumas u otras operaciones, siempre que dé el mismo resultado que en la foto) y a la derecha se dibujan las figuras geométricas que expresan una fracción (lo mismo, podéis inventaros los dibujos, siempre que no se altere el valor del número).

Cómo jugar:

Está pensado para 4 jugadores a los que se les reparte 7 fichas a cada uno, aunque como en el dominó real también pueden jugar otro número de personas. Tiene 28 fichas con 7 fracciones distintas. Cada resultado aparece en 7 fichas: en una doble y en otras seis fichas con los otros 6 resultados. Si el número de jugadores es alto, se puede jugar en parejas para facilitar el aprendizaje cooperativo.

Primera actividad:

 - Los alumnos tienen que descubrir los 7 números que aparecen en el dominó y ordenarlos de mayor a menor.

Segunda actividad:

 - Comienza el jugador o equipo que encuentre entre sus fichas una doble (hay 7 en total) y la pondrá sobre la mesa. 

- Después, el turno es para el jugador o equipo de su izquierda, colocando su ficha en uno de los extremos de la serie. Si no puede colocar una ficha, pierde el turno.

- Si un jugador/equipo coloca una ficha mal, se le hace perder un turno.

- El jugador/equipo que gana la partida es el que se queda sin fichas y se anota un punto. 

- Si se juegan varias partidas, el jugador/equipo ganador final es el que más puntos ha conseguido.

Tercera actividad:

 - Se reparten las fichas de forma similar al juego anterior, pero en este caso se colocan sin turno fijo y cuanto más rápido mejor. De esta manera se premia la rapidez de cálculo. El que gana la partida es el que se queda sin fichas.

 

 Espero que os sea útil.

PRESENTACIÓN

Hola a tod@s.

Con este blog pretendo hacer llegar las matemáticas de forma más atractiva a profesores y alumnos de Secundaria. Por tanto, mi objetivo es lograr que los alumnos aprendan y comprendan las matemáticas mediante recursos y ejemplos de creación propia o encontrados en la red.

Me gustaría empezar con un toque de humor, para demostrar que no toda innovación mejora el aprendizaje del alumnado.

Espero que os guste y cualquier sugerencia de mejora o cambio será bienvenida.

Un saludo.

Sergio.