jueves, 3 de julio de 2014

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS. LA RECTA NUMÉRICA.


Contenidos relevantes: operaciones con números enteros
Sin lugar a dudas, consideramos que muchos de los alumnos tienen reales problemas para comprender la suma y resta de números enteros. Por este motivo se cree indispensable explicarlo mediante la recta numérica.

Indicamos en la recta numérica, que partiendo del punto “0” un número positivo se desplazará hacia la derecha el número de unidades de su valor; de la misma forma, un número con signo negativo lo hará hacia la izquierda.
Recta numérica*

Con una serie de ejemplos es como los alumnos lo entienden mejor:

Ejemplo 1. Juan anda 3 metros hacia la derecha y, a continuación, 5 metros más en la misma dirección ¿a cuántos metros está Juan de su posición inicial?  3 + 5 = 8
Recta numérica*

Ejemplo 2. María camina 4 metros hacia la derecha y 7 metros hacia la izquierda después. ¿A qué distancia está María del origen? 4 + (– 7) = – 3
Recta numérica*

Ejemplo 3. Ana se mueve 3 metros hacia la izquierda y, pasado un rato, 5 metros hacia la izquierda. ¿A que distancia se encuentra del punto inicial? – 3 + (– 5) = – 8
Recta numérica*

* Las imágenes se han tomado de la web: http://htor73.blogdiario.com/

martes, 14 de mayo de 2013

INTEGRALES CON SOLUCIÓN DE LA PAU (MADRID, AÑOS 2001 A 2013)

Hola a tod@s, en especial a los alumn@s de Matemáticas de 2º de Bachillerato:

En esta entrada os dejo varios ejercicios con solución, específicos en cuanto a la RESOLUCIÓN DE INTEGRALES (definidas e indefinidas) propuestos en los exámenes correspondientes a la Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) -antigua Selectividad- de la Comunidad de Madrid en los últimos años.

Si no llegáis a la solución o tenéis cualquier duda, no dudéis en dejar un comentario en la entrada y os contestaré lo antes posible. :-).

Hasta otro día.
Sergio.




miércoles, 19 de diciembre de 2012

GYMKHANA MATEMÁTICA (2º ESO)


Esta Gymkhana Matemática está pensada para 2º de ESO en la época que los alumnos estudien la parte de Geometría del programa.

Este juego matemático está diseñado para realizarse en los “Jardines de JuanPablo II” de Alcalá de Henares, aunque se puede adaptar a un parque cercano a cualquier centro escolar. Se puede plantear como una "Actividad Complementaria", en la que los alumnos, en grupos de cuatro, contestarán una serie de preguntas y problemas geométricos, utilizando como objeto de estudio los elementos presentes en dichos jardines. 

Material necesario: papel, bolígrafo, metro de 5m, calculadora y regla.
Material escolar necesario: bolígrafo, calculadora, regla, metro, etc.
Material escolar necesario: papel, bolígrafo, calculadora, regla, metro...
Preguntas
1. Anota todas las figuras y cuerpos geométricos que identifiques durante la gymkhana.
2. Calcula el volumen del globo de una de las farolas (ver imagen 1), cuyo radio son 20 cm.
3. En la imagen 2 vemos 5 jardineras. ¿Cuál es la superficie de cada una de ellas? ¿Cuál es la superficie de las 5 juntas? Haz un dibujo aproximado de una de ellas a escala 1:50
4. Busca una papelera igual que la de la imagen 3. ¿Qué figura geométrica es? Calcula su área, teniendo en cuenta que no tiene tapa superior. ¿Cuál es su volumen?
5. ¿Cuál es el nombre de la persona de la estatua de la imagen 4? Nació en Polonia. ¿Cuál es la capital de este país? Aunque la estatua evidentemente no tiene forma cónica, imaginemos que fuera un cono. Sabiendo que el radio de su base es 1m y su altura son 4m, ¿cuál es el área de ese cono? ¿Y su volumen?
6. En el parque de niños está esta especie de pirámide (ver imagen 5). ¿Qué figuras geométricas identificas? Habla sobre ellas: características, caras, aristas, ángulos, etc.

Preguntas ghymkana matemática: globo, papelera, jardines, pirámide, etc.

domingo, 9 de diciembre de 2012

ACERTIJOS MATEMÁTICOS (II): UNO DE CABALLEROS Y ESCUDEROS

Fuente de imagen: my-coloring-pages.com
Hoy os traigo uno de los típicos acertijos de lógica, que seguro que os gusta.

Existe una isla en la que viven dos tipos de personas: los caballeros (que siempre dicen la verdad) y los escuderos (que siempre mienten).

Al llegar un extranjero a la isla, se encuentra a tres de sus habitantes (A, B y C). Entonces, pregunta al habitante A, ¿eres caballero o escudero? A le responde: "fg$#hº@"t&·$%#d%" en un idioma que el extranjero no conoce.  Entonces, el extranjero le pregunta al habitante B, ¿qué ha dicho A?, y B le responde: "A te ha dicho que es escudero". Al escuchar las palabras de B, el habitante C le indica: "Lo que te ha dicho B es mentira"...

Con estas respuestas, ¿qué tipos de habitantes pueden ser A, B y C


Allá va la solución:

- El habitante A puede ser caballero o escudero, no lo sabemos, pero lo que sí podemos afirmar es que su respuesta es "caballero", porque si es caballero dirá la verdad y si es escudero mentirá y, por consiguiente, su respuesta será caballero también.

- Por tanto, sabiendo que el habitante A es caballero, el habitante B tiene que ser obligatoriamente escudero (porque miente al decir que A es escudero) y no caballero (que hubiera dicho la verdad: caballero).

- Por último, el habitante C es caballero porque dice la verdad (afirma que el habitante B ha mentido porque es escudero).

Espero que os haya quedado claro, aunque parece un trabalenguas. Para cualquier duda ya sabéis que me podéis preguntar sin problemas dejando un comentario.

martes, 13 de noviembre de 2012

ACERTIJOS MATEMÁTICOS (I): EL PROBLEMA DE MONTY HALL

Aunque muy conocido en el ámbito matemático, hoy os presento un acertijo del que si sabéis su solución y vais a algún concurso de la tele os puede ser de mucha utilidad.

Supongamos un concurso, por ejemplo "El precio justo" de los años 80-90, en el que el presentador (el entrañable Joaquín Prat) le pide al concursante que elija una de las tres puertas (A,B,C) que hay en el plató. Detrás de una de ellas existe un premio de un coche y las otras dos están vacías.

El concursante elije la puerta A y el presentador, que sabe dónde está el premio y quiere ayudar al concursante, abre una puerta en la que no hay nada (imaginemos que abre la puerta B), quedando dos posibilidades: que el premio esté en la puerta A, como ha elegido el concursante, o en la puerta C. Entonces el presentador le dice al concursante: "¿Te quedas con la puerta A o cambias a la puerta C?"

¿Qué haríais vosotros si fuerais el concursante?


Para los que habéis elegido cambiar a la puerta C, ¡ENHORABUENA! Para los que no estéis muy convencidos, os dejo esta explicación:
 
- Todo se basa en la probabilidad: cuando el concursante elije al comienzo del concurso abrir la puerta A, tiene una probabilidad de acierto de 1/3, al igual que si hubiera elegido la puerta C. Pero cuando el presentador descarta la puerta B (sabe que no hay premio en ella), sucede algo: la probabilidad de acierto si se queda con la puerta A se mantiene en 1/3, pero si cambia a la puerta C, aumenta a 2/3, puesto que se le suma la probabilidad de la puerta ya abierta.

- Para verlo más claro, os pongo el siguiente ejemplo. Pensemos que hay mil puertas llamadas 1, 2, 3, 4, ………….., 999, 1.000. Imaginemos que elegís la puerta 1. En ese momento la probabilidad de acierto es muy baja: 1/1.000, ¿no? Ahora el presentador os dice que el premio no está en las puertas 2, 3, 4, 5, …………., 997, 998 y 999, y las abre, estando vacías. Por tanto, quedan cerradas las puertas 1 y 1.000, con el coche detrás de una de ellas. ¿Os seguiríais quedando con la puerta nº 1 (prob. 1/1.000) u os cambiaríais a la nº 1.000 (prob. 999/1.000)? Yo lo tengo claro, ¿vosotros?. ;-).

viernes, 31 de agosto de 2012

EXPLICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA CON GEOGEBRA

GeoGebra es una de las herramientas más potentes que existen hoy en día para complementar las tradicionales explicaciones matemáticas. De forma muy visual, se pueden transmitir numerosos conceptos matemáticos. Uno de mis favoritos es la circunferencia trigonométrica, también conocida como circunferencia goniométrica.

Esta circunferencia la utilizamos para estudiar las razones trigonométricas, empleando triángulos rectángulos auxiliares, facilitándonos la comprensión de muchos aspectos trigonométricos: ¿por qué la función seno oscila entre -1 y 1?; ¿por qué el seno de 30º es igual al seno de 150º?; ¿cuándo son positivas o negativas las razones trigonométricas?, etc.

Podéis trabajar todo esto con el siguiente archivo de GeoGebra que he creado:

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com
En el caso de este archivo, se pueden estudiar todos estos conceptos, referentes al seno, coseno y tangente de un ángulo, mediante el deslizador de color verde llamado "ángulo", que podemos mover con el ratón.

Además, se incorpora la opción de estudiar los signos de las razones trigonométricas y la representación gráfica del seno y el coseno mediante la activación de las pestañas de la derecha y el movimiento del deslizador "ángulo" anteriormente citado, tal y como muestro en esta imagen:
Función seno y coseno con GeoGebra, trigonometría
Funciones seno y coseno con GeoGebra
Por último, quiero recomendaros esta página web de la Universidad de Navarra, donde podéis encontrar numerosos ejemplos para la enseñanza de las matemáticas a través de GeoGebra.

viernes, 24 de agosto de 2012

REDONDEO DE NÚMEROS DECIMALES



“Redondear” un número decimal consiste en disminuir el número de cifras decimales, consiguiendo un valor menos exacto, pero más cómodo a la hora de operar matemáticamente.

Para explicar el redondeo de números decimales, pienso que la manera más visual e intuitiva es mediante la recta numérica. A continuación, lo explico con un ejemplo.

Ejemplo 1. Redondear el número decimal 4,827 a la centésima más cercana.
El alumno tendrá la duda entre redondear a 4,82 ó 4,83. Para redondear, se le invita a que localice sobre la recta numérica los tres números: 4,82; 4,83 y 4,827.

Redondeo de número decimal usando la recta numérica, redondear decimales
Redondeo de un número decimal usando la recta numérica

Se divide la distancia de 4,82 a 4,83 en diez partes iguales. La séptima de las 10 partes ubica al número 4,827. Como muestra la recta numérica, 4,827 está más cerca de 4,83 que de 4,82, de modo que 4,827, redondeado al centésimo más cercano, es 4,83.

Ejemplo 2. Redondear el número decimal 4,825 a la centésima más cercana.
Para el número 4,825, el método de la recta numérica no valdría, puesto que se encuentra a la misma distancia de 4,82 que de 4,83. En este caso se hace una decisión arbitraria, redondeando hacia arriba al centésimo más cercano (4,83).

martes, 5 de junio de 2012

“ERNESTO EL APRENDIZ DE MATEMAGO”

Hoy os hablo de un entretenido libro sobre matemáticas que pueden leer alumnos de 1º y 2º de ESO  -su título es “Ernesto el aprendiz de matemago”-. A continuación os hago un pequeño resumen y dejo propuesta una actividad a realizar por los alumnos tras su lectura.

A. Presentación del libro
“Ernesto el aprendiz de matemago” es un libro escrito por José Muñoz Santonja, publicado en 2003 por la Editorial Nivola. Tiene una extensión de 153 páginas y su lectura –para hacer las actividades que se proponen– está recomendada a partir de los 13 años, para la comprensión de los trucos de magia donde se aplican las matemáticas.

El libro cuenta la historia de Ernesto, un adolescente de 15 años al que no se le dan demasiado bien las matemáticas en el instituto, quien conoce en una función de circo a un viejo mago (Minler) que le saca como voluntario para uno de sus trucos. A partir de ahí, Ernesto se reúne casi a diario con el mago para que le enseñe los secretos de los trucos de magia y le demuestre que muchos de estos trucos tienen su base en las matemáticas. De esta forma, cuando el circo abandona la ciudad y Ernesto se despide del mago, el alumno se da cuenta de que entiende las matemáticas y finalmente las aprueba.

A lo largo del libro se tratan distintas áreas de las matemáticas para que los niños que lo lean se familiaricen con las mismas, desde el punto de vista de trucos de magia que le hagan estar más motivados y entretenidos. Desde el fomento del cálculo mental, el empleo de la calculadora, la aritmética, el álgebra, la geometría, el sistema binário, etc. Además, introduce a Ernesto en los acertijos y puzles matemáticos de Samuel Loyd.


B. Actividades a realizar por los alumnos de Matemáticas de 2º de ESO

1.- Referencias bibliográficas y breve resumen del libro.

2.- Teniendo en cuenta el truco de los dados; si lanzo un dado y sale un 5, ¿cuánto vale la cara opuesta? Intenta crear tu propio acertijo con tres dados, basándote en las indicaciones que da el mago Minler a Ernesto.

3.- Sabiendo que el álgebra ayuda a hacer magia y que he pensado un número menor que 20, adivina ese número si realizo con él las siguientes operaciones:
- Le resto 1 y multiplico el resultado por 3.
- Ahora le sumo 2 y el nuevo valor lo multiplico por 2.
- Al valor resultante, ahora le sumo 5 y también le sumo el número que había pensado.
- Si he obtenido el número 52, ¿en qué número he pensado?
4.- ¿Cómo se puede calcular el cuadrado de un número que termina en 5 de forma sencilla? Calcula el cuadrado del número 85.

5.- Intenta realizar el truco del cuadrado de 3x3 en el calendario, siguiendo lo especificado en el capítulo 10: “La magia del calendario”. En este cuadrado tiene que estar la fecha de tu cumpleaños. Explica cómo lo has hecho.

6.- En el capítulo 12: “Unas imágenes asombrosas” se revelan varios puzles de Sam Loyd. A continuación te mostramos otro.

¿Cómo se puede convertir la pica del dibujo en un corazón, partiéndola en tres partes?

 
7.- Recordando el concepto de permutación, ¿de cuántas formas distintas se puede escribir mi nombre (Sergio)? ¿Y el tuyo?

8.- Crea tu propio truco de magia a partir del que te haya gustado más del libro.

9.- Comenta qué te ha parecido el libro: qué es lo que más te ha gustado, lo que menos, si lo volverías a leer, etc.

sábado, 12 de mayo de 2012

¿POR QUÉ UN NÚMERO ELEVADO A CERO ES UNO?


Hola a tod@s,
Cuántas veces hemos utilizado la propiedad de las potencias que dice que “una base cualquiera elevada a exponente igual a 0, vale 1”. Pero, ¿nos hemos preguntado alguna vez por qué? Cuando yo era estudiante, en el colegio y en el instituto no lo hicieron y pienso que se puede demostrar de una forma sencilla e intuitiva para que los alumnos de ESO capten la idea.
 - Se puede demostrar con las propiedades de las potencias, de esta forma:

Aunque realmente así no se explica del todo...

- O de otra forma (yo lo explicaría así), de un modo más visual en la que podríamos usar la calculadora e ir aproximándonos al exponente 0, haciendo ver a los alumnos, que cuanto más nos aproximamos a 0 en el exponente de la potencia, el resultado de la misma más se acerca a 1:

jueves, 3 de mayo de 2012

DOMINÓ MATEMÁTICO DE SUMA DE FRACCIONES

Hola a tod@s,

En esta entrada os muestro cómo hacer un dominó matemático para reforzar el aprendizaje de la suma de fracciones (en este caso con igual denominador). Está indicado para alumnos de primero de la ESO, pero a partir de esa edad puede jugar cualquier persona.

En primer lugar, os recuerdo los pasos para sumar fracciones con el mismo denominador:
1º- Dejamos el mismo denominador.
2º- Se suman los numeradores.
3º- Se simplifica si fuera posible.

Ejemplo: 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4

A continuación, os cuento una forma fácil para que profesores y alumnos podáis crear vuestro propio dominó. Os voy a dejar un ejemplo de sumas de fracciones con el mismo denominador, pero podéis improvisar para hacerlo con distinto denominador, con otras operaciones (resta, multiplicación y división) o una mezcla de todas.

Dominó matemático de suma de fraccionesJUEGO DEL DOMINÓ PARA REFORZAR LA SUMA DE FRACCIONES
 Materiales necesarios:
- Cartulina blanca.
- Tijeras.
- Rotuladores. 
- Forro adhesivo para plastificar las fichas (opcional).
- Imaginación...

Características del dominó:
Está compuesto por 28 fichas con los números: 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 3/4 y 1.
En todas las fichas, en la parte izquierda aparece una suma de dos fracciones (ver los pasos a seguir en la suma de fracciones) y en la de la derecha un dibujo que representa uno de los 7 números fraccionarios.

Cómo fabricarlo:
- Se recortan 28 trozos rectangulares de cartulina del mismo tamaño.
- Se pintan los bordes y la linea central de todas las fichas.
- La opción más sencilla es copiar las fichas que os adjunto en esta foto.

Dominó matemático completo de suma de fracciones
Dominó matemático completo de suma de fracciones
 - Si queréis crear el vuestro, a la izquierda se escriben las sumas de fracciones (podéis cambiarlas por otras sumas u otras operaciones, siempre que dé el mismo resultado que en la foto) y a la derecha se dibujan las figuras geométricas que expresan una fracción (lo mismo, podéis inventaros los dibujos, siempre que no se altere el valor del número).
Cómo jugar:
Está pensado para 4 jugadores a los que se les reparte 7 fichas a cada uno, aunque como en el dominó real también pueden jugar otro número de personas. Tiene 28 fichas con 7 fracciones distintas. Cada resultado aparece en 7 fichas: en una doble y en otras seis fichas con los otros 6 resultados. Si el número de jugadores es alto, se puede jugar en parejas para facilitar el aprendizaje cooperativo.

Primera actividad:
 - Los alumnos tienen que descubrir los 7 números que aparecen en el dominó y ordenarlos de mayor a menor.

Segunda actividad:
 - Comienza el jugador o equipo que encuentre entre sus fichas una doble (hay 7 en total) y la pondrá sobre la mesa. 
- Después, el turno es para el jugador o equipo de su izquierda, colocando su ficha en uno de los extremos de la serie. Si no puede colocar una ficha, pierde el turno.
- Si un jugador/equipo coloca una ficha mal, se le hace perder un turno.
- El jugador/equipo que gana la partida es el que se queda sin fichas y se anota un punto. 
- Si se juegan varias partidas, el jugador/equipo ganador final es el que más puntos ha conseguido.

Dominó matemático completo de sumas de fracciones
Tercera actividad:
 - Se reparten las fichas de forma similar al juego anterior, pero en este caso se colocan sin turno fijo y cuanto más rápido mejor. De esta manera se premia la rapidez de cálculo. El que gana la partida es el que se queda sin fichas.
 
 Espero que os sea útil.